Упр.21.50 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. а) $$\cos\frac{1}{x^2-\pi^2}\cdot\sin 2x=8\sin x\cdot\cos x$$; б) $$16\sin x\cdot\cos x+\sin 2x\cdot\sin\frac{1}{2}=0$$.

а) $$\cos\frac{1}{x^2-\pi^2}\cdot \sin 2x=8\sin x\cdot \cos x.$$

Так как $$8\sin x\cos x=4\sin 2x,$$ получаем

$$\cos\frac{1}{x^2-\pi^2}\cdot \sin 2x=4\sin 2x.$$

Перенесём всё в одну сторону и вынесем общий множитель:

$$\sin 2x\left(\cos\frac{1}{x^2-\pi^2}-4\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos\frac{1}{x^2-\pi^2}=4.$$

Второе уравнение решений не имеет, так как $$\cos t\in[-1;1].$$

Решаем первое:

$$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

Но нужно учесть область определения:

$$x^2-\pi^2\ne 0 \Rightarrow x\ne \pm \pi.$$

При $$x=\frac{\pi n}{2}$$ исключаем значения $$x=\pm\pi,$$ то есть $$n=\pm 2.$$

Итак,

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z,\ n\ne \pm 2.$$

б) $$16\sin x\cos x+\sin 2x\cdot \sin\frac{1}{x}=0.$$

Так как $$16\sin x\cos x=8\sin 2x,$$ имеем

$$8\sin 2x+\sin 2x\cdot \sin\frac{1}{x}=0.$$

Вынесем $$\sin 2x$$ за скобки:

$$\sin 2x\left(8+\sin\frac{1}{x}\right)=0.$$

Отсюда

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 8+\sin\frac{1}{x}=0.$$

Второе уравнение не имеет решений, так как $$\sin t\in[-1;1],$$ а число $$-8$$ этому промежутку не принадлежит.

Решаем первое:

$$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$

$$x=\frac{\pi n}{2}.$$

С учётом области определения $$x\ne 0$$, поэтому $$n\ne 0.$$

Следовательно,

$$x=\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z,\ n\ne 0.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z,\ n\ne \pm 2.$$

б) $$x=\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z,\ n\ne 0.$$