Упр.21.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Воспользуемся формулой

$$\tg 2\alpha=\frac{2\tg \alpha}{1-\tg^2 \alpha}.$$

Тогда

$$\frac{\tg \frac{\pi}{8}}{1-\tg^2 \frac{\pi}{8}}=\frac12\cdot \frac{2\tg \frac{\pi}{8}}{1-\tg^2 \frac{\pi}{8}}=\frac12 \tg \frac{\pi}{4}=\frac12\cdot 1=\frac12.$$

Аналогично

$$\frac{\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}=\frac12\cdot \frac{2\tg 75^\circ}{1-\tg^2 75^\circ}=\frac12 \tg 150^\circ.$$

Так как

$$\tg 150^\circ=\tg(180^\circ-30^\circ)=-\tg 30^\circ=-\frac{1}{\sqrt{3}}=-\frac{\sqrt{3}}{3},$$

то

$$\frac12 \tg 150^\circ=\frac12\cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{6}.$$

Ответ: а) $$\frac12$$; б) $$-\frac{\sqrt{3}}{6}$$.