Упр.21.49 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

21.49. Используя замену $$u=\operatorname{tg}\frac{x}{2}$$ и тождества из упражнения 21.48, решите уравнение:

а) $$\sin x+7\cos x=5$$;

б) $$5\sin x+10\cos x+2=0$$.

а) Используем формулы

$$\sin x=\frac{2\tg \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}, \qquad \cos x=\frac{1-\tg^2 \frac{x}{2}}{1+\tg^2 \frac{x}{2}}.$$

Пусть $$u=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$\frac{2u}{1+u^2}+7\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}=5.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$2u+7(1-u^2)=5(1+u^2),$$

$$2u+7-7u^2=5+5u^2,$$

$$6u^2-u-1=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-1)^2-4\cdot 6\cdot(-1)=25,$$

$$u_{1,2}=\frac{1\pm 5}{12}.$$

Получаем:

$$u_1=\frac12,\qquad u_2=-\frac13.$$

Тогда

$$\tg \frac{x}{2}=\frac12 \quad \Rightarrow \quad x=2\arctg \frac12+2\pi n,$$

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac13 \quad \Rightarrow \quad x=-2\arctg \frac13+2\pi n,$$

$$n\in \mathbb Z.$$

б) Аналогично, пусть $$u=\tg \frac{x}{2}.$$ Тогда

$$5\cdot \frac{2u}{1+u^2}+10\cdot \frac{1-u^2}{1+u^2}+2=0.$$

Умножим на $$1+u^2$$:

$$10u+10(1-u^2)+2(1+u^2)=0,$$

$$10u+10-10u^2+2+2u^2=0,$$

$$4u^2-5u-6=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-5)^2-4\cdot 4\cdot(-6)=121,$$

$$u_{1,2}=\frac{5\pm 11}{8}.$$

Получаем:

$$u_1=2,\qquad u_2=-\frac34.$$

Тогда

$$\tg \frac{x}{2}=2 \quad \Rightarrow \quad x=2\arctg 2+2\pi n,$$

$$\tg \frac{x}{2}=-\frac34 \quad \Rightarrow \quad x=-2\arctg \frac34+2\pi n,$$

$$n\in \mathbb Z.$$

Ответ

а) $$x=2\arctg \frac12+2\pi n,\; x=-2\arctg \frac13+2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$

б) $$x=2\arctg 2+2\pi n,\; x=-2\arctg \frac34+2\pi n,\; n\in \mathbb Z.$$