Упр.21.47 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите корни уравнения, удовлетворяющие неравенству $$|x|<4$$: а) $$4\sin^2 x+\sin^2 2x=3$$; б) $$4\cos^2 2x+8\cos^2 x=7$$.

а) Используем формулы $$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}$$ и $$\sin^2 2x=1-\cos^2 2x.$$ Тогда

$$4\sin^2 x+\sin^2 2x=3$$
$$4\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}+1-\cos^2 2x=3$$
$$2-2\cos 2x+1-\cos^2 2x=3$$
$$\cos^2 2x+2\cos 2x=0$$
$$\cos 2x(\cos 2x+2)=0.$$

Отсюда:

$$\cos 2x=0 \quad \text{или} \quad \cos 2x=-2.$$

Уравнение $$\cos 2x=-2$$ решений не имеет, поэтому остаётся

$$\cos 2x=0.$$

Тогда

$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z},$$
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}.$$

При условии $$|x|<4$$ получаем значения:

$$x=\pm \frac{\pi}{4},\ \pm \frac{3\pi}{4},\ \pm \frac{5\pi}{4}.$$

б) Преобразуем уравнение, используя формулу $$\cos 2x=2\cos^2 x-1$$:

$$4\cos^2 2x+8\cos^2 x=7$$
$$4(2\cos^2 x-1)^2+8\cos^2 x=7$$
$$16\cos^4 x-8\cos^2 x-3=0.$$

Сделаем замену $$t=\cos^2 x$$. Тогда

$$16t^2-8t-3=0.$$

Найдём корни:

$$D=(-8)^2-4\cdot 16\cdot (-3)=256,$$
$$t=\frac{8\pm 16}{32}.$$

Получаем:

$$t_1=\frac{3}{4},\qquad t_2=-\frac{1}{4}.$$

Значение $$t_2$$ не подходит, так как $$\cos^2 x\ge 0$$. Значит,

$$\cos^2 x=\frac{3}{4},$$
$$\cos x=\pm \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

Тогда

$$x=\pm \frac{\pi}{6}+2\pi k \quad \text{или} \quad x=\pm \frac{5\pi}{6}+2\pi k,\quad k\in \mathbb{Z}.$$

При условии $$|x|<4$$ получаем:

$$x=\pm \frac{\pi}{6},\ \pm \frac{5\pi}{6},\ \pm \frac{7\pi}{6}.$$

Ответ

а) $$x=\pm \frac{\pi}{4},\ \pm \frac{3\pi}{4},\ \pm \frac{5\pi}{4}.$$

б) $$x=\pm \frac{\pi}{6},\ \pm \frac{5\pi}{6},\ \pm \frac{7\pi}{6}.$$