Упр.21.46 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Сколько корней имеет уравнение:
   а) $$(\cos x-\sin x)^2=1-2\sin 2x$$ на отрезке $$\left[\frac{20\pi}{9};\frac{28\pi}{9}\right]$$;
   б) $$2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)+1=0$$ на отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right]$$?

а) Преобразуем левую часть:

$$(\cos x-\sin x)^2=\cos^2 x+\sin^2 x-2\sin x\cos x=1-\sin 2x.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$1-\sin 2x=1-2\sin 2x,$$

откуда

$$\sin 2x=0.$$

Следовательно,

$$2x=\pi k,\quad x=\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$

Найдём значения $$x$$ на отрезке $$\left[\frac{20\pi}{9};\frac{28\pi}{9}\right].$$

$$\frac{20\pi}{9}\le \frac{\pi k}{2}\le \frac{28\pi}{9} \quad\Longrightarrow\quad \frac{40}{9}\le k\le \frac{56}{9}.$$

Отсюда $$k=5,6.$$

Значит, на отрезке лежат корни

$$x=\frac{5\pi}{2},\quad x=3\pi.$$

б) Используем формулы:

$$\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-2x\right)=\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right),$$

поэтому

$$2\cos^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)-2\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)+1=0.$$

По формуле $$\cos 2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha$$ получаем

$$2\cos\left(2\cdot\left(2x-\frac{\pi}{4}\right)\right)+1=0,$$

то есть

$$2\cos\left(4x-\frac{\pi}{2}\right)+1=0.$$

Так как $$\cos\left(t-\frac{\pi}{2}\right)=\sin t,$$ имеем

$$2\sin 4x+1=0,$$

или

$$\sin 4x=-\frac12.$$

Общее решение:

$$4x=-\frac{\pi}{6}+2\pi n \quad \text{или} \quad 4x=\frac{7\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Тогда

$$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}.$$

Найдём корни на отрезке $$\left[\frac{\pi}{2};\frac{3\pi}{2}\right].$$

1) Для $$x=-\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}:$$

$$\frac{\pi}{2}\le -\frac{\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}\le \frac{3\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{13}{24}\le \frac{n}{2}\le \frac{37}{24}.$$

Отсюда $$n=2,3,$$ и получаем

$$x=\frac{23\pi}{24},\quad x=\frac{35\pi}{24}.$$

2) Для $$x=\frac{7\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}:$$

$$\frac{\pi}{2}\le \frac{7\pi}{24}+\frac{\pi n}{2}\le \frac{3\pi}{2} \quad\Longrightarrow\quad \frac{5}{24}\le \frac{n}{2}\le \frac{29}{24}.$$

Отсюда $$n=1,2,$$ и получаем

$$x=\frac{19\pi}{24},\quad x=\frac{31\pi}{24}.$$

Итак, на отрезке четыре корня.

Ответ: а) $$2$$; б) $$4$$.