Упр.21.45 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Сколько корней имеет уравнение $$2\cos^2\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{9}=1$$ на отрезке $$[-2\pi; 2\pi]$$? Найдите эти корни.

Используем формулу $$2\cos^2\frac{x}{2}=1+\cos x.$$ Тогда уравнение

$$2\cos^2\frac{x}{2}-\cos\frac{\pi}{9}=1$$

преобразуется к виду

$$1+\cos x-\cos\frac{\pi}{9}=1,$$

откуда

$$\cos x=\cos\frac{\pi}{9}.$$

Общее решение:

$$x=\pm \frac{\pi}{9}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

Найдём корни на отрезке $$[-2\pi;2\pi].$$

Для ветви $$x=\frac{\pi}{9}+2\pi k$$ получаем:

$$-2\pi\le \frac{\pi}{9}+2\pi k\le 2\pi,$$

$$-\frac{19}{18}\le k\le \frac{17}{18},$$

значит, $$k=-1,\,0.$$ Тогда

$$x=-\frac{17\pi}{9},\ \frac{\pi}{9}.$$

Для ветви $$x=-\frac{\pi}{9}+2\pi k$$ получаем:

$$-2\pi\le -\frac{\pi}{9}+2\pi k\le 2\pi,$$

$$-\frac{17}{18}\le k\le \frac{19}{18},$$

значит, $$k=0,\,1.$$ Тогда

$$x=-\frac{\pi}{9},\ \frac{17\pi}{9}.$$

Итак, на отрезке $$[-2\pi;2\pi]$$ уравнение имеет 4 корня:

$$-\frac{17\pi}{9},\ -\frac{\pi}{9},\ \frac{\pi}{9},\ \frac{17\pi}{9}.$$

Ответ: $$4; \ -\frac{17\pi}{9},\ -\frac{\pi}{9},\ \frac{\pi}{9},\ \frac{17\pi}{9}.$$