Упр.21.43 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

1. $$3\sin 2x+\cos 2x=1$$;
2. $$\cos 4x+2\sin 4x=1$$.

а) $$3\sin 2x+\cos 2x=1$$

Используем формулы $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:

$$3\cdot 2\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=1$$

$$6\sin x\cos x+\cos^2 x-\sin^2 x=\sin^2 x+\cos^2 x$$

$$6\sin x\cos x-2\sin^2 x=0$$

$$2\sin x(3\cos x-\sin x)=0$$

Отсюда:

$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 3\cos x-\sin x=0.$$

1) $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$3\cos x-\sin x=0 \Rightarrow \tg x=3 \Rightarrow x=\arctg 3+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\pi n,\ \arctg 3+\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos 4x+2\sin 4x=1$$

Преобразуем левую часть, используя формулы двойного аргумента:

$$\cos 4x=\cos^2 2x-\sin^2 2x,\qquad \sin 4x=2\sin 2x\cos 2x.$$

Тогда

$$\cos^2 2x-\sin^2 2x+2\cdot 2\sin 2x\cos 2x=1$$

$$\cos^2 2x-\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=\sin^2 2x+\cos^2 2x$$

$$-2\sin^2 2x+4\sin 2x\cos 2x=0$$

$$2\sin 2x(2\cos 2x-\sin 2x)=0.$$

Отсюда:

$$\sin 2x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos 2x-\sin 2x=0.$$

1) $$\sin 2x=0 \Rightarrow 2x=\pi n \Rightarrow x=\frac{\pi n}{2},$$ $$n\in\mathbb Z.$$

2) $$2\cos 2x-\sin 2x=0 \Rightarrow \tg 2x=2 \Rightarrow 2x=\arctg 2+\pi n,$$ $$n\in\mathbb Z,$$ значит

$$x=\frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ: $$x=\frac{\pi n}{2},\ \frac12\arctg 2+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z.$$