Упр.21.42 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Найдите наибольший отрицательный корень (в градусах) уравнения:
а) $$\cos x=\frac{\sin 22{,}5\cdot\cos 22{,}5}{\cos^2 67{,}5-\sin^2 67{,}5}$$;
б) $$\sin x=\frac{\sin^2 75-\cos^2 75}{4\sin 15\cdot\cos 15}$$.

Подробный ответ

а) Преобразуем правую часть:

$$\frac{\sin 22{,}5^\circ \cdot \cos 22{,}5^\circ}{\cos^2 67{,}5^\circ-\sin^2 67{,}5^\circ} = \frac{\frac12\sin 45^\circ}{\cos 135^\circ} = \frac{\frac12\sin 45^\circ}{\cos(90^\circ+45^\circ)} = \frac{\frac12\sin 45^\circ}{-\sin 45^\circ} =-\frac12.$$

Тогда

$$\cos x=-\frac12.$$

Общее решение:

$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in \mathbb Z.$$

Наибольший отрицательный корень:

$$x=-\frac{2\pi}{3}=-120^\circ.$$

б) Упростим правую часть:

$$\frac{\sin^2 75^\circ-\cos^2 75^\circ}{4\sin 15^\circ\cos 15^\circ} = -\frac{\cos^2 75^\circ-\sin^2 75^\circ}{2\cdot 2\sin 15^\circ\cos 15^\circ} = -\frac{\cos 150^\circ}{2\sin 30^\circ} = -\frac{\cos(180^\circ-30^\circ)}{2\sin 30^\circ} = \frac{\cos 30^\circ}{2\sin 30^\circ} =\frac{\sqrt3}{2}.$$

Следовательно,

$$\sin x=\frac{\sqrt3}{2}.$$

Общее решение:

$$x=60^\circ+360^\circ k \quad \text{или} \quad x=120^\circ+360^\circ k,\quad k\in \mathbb Z.$$

Наибольший отрицательный корень:

$$x=-240^\circ.$$