Упр.21.41 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции $$y=f(x)$$, если:

а) $$f(x)=2\cos 2x+\sin^2 x$$;

б) $$f(x)=2\sin^2 3x-\cos 6x$$.

а) Преобразуем выражение:

$$f(x)=2\cos 2x+\sin^2 x=2(\cos^2 x-\sin^2 x)+\sin^2 x=2\cos^2 x-\sin^2 x.$$

Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x,$$ то

$$f(x)=2(1-\sin^2 x)-\sin^2 x=2-3\sin^2 x.$$

Поскольку $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ получаем

$$-1\le 2-3\sin^2 x\le 2.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-1,$$ а наибольшее — $$2.$$

б) Преобразуем выражение:

$$f(x)=2\sin^2 3x-\cos 6x.$$

Используем формулу $$\cos 6x=\cos^2 3x-\sin^2 3x.$$ Тогда

$$f(x)=2\sin^2 3x-(\cos^2 3x-\sin^2 3x)=3\sin^2 3x-\cos^2 3x.$$

Так как $$\cos^2 3x=1-\sin^2 3x,$$ то

$$f(x)=3\sin^2 3x-(1-\sin^2 3x)=4\sin^2 3x-1.$$

Поскольку $$0\le \sin^2 3x\le 1,$$ имеем

$$-1\le 4\sin^2 3x-1\le 3.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-1,$$ а наибольшее — $$3.$$

Ответ: а) $$-1; 2$$; б) $$-1; 3$$.