Упр.21.40 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Представив $$3x$$ в виде $$x+2x$$, докажите тождество:

а) $$\sin 3x=3\sin x-4\sin^3 x$$;

б) $$\cos 3x=4\cos^3 x-3\cos x$$.

а) Представим $$3x$$ в виде $$x+2x$$:

$$\sin 3x=\sin(x+2x)=\sin x\cos 2x+\cos x\sin 2x$$
$$=\sin x(\cos^2 x-\sin^2 x)+\cos x\cdot 2\sin x\cos x$$
$$=\sin x(1-\sin^2 x-\sin^2 x)+2\sin x\cos^2 x$$
$$=\sin x(1-2\sin^2 x)+2\sin x(1-\sin^2 x)$$
$$= \sin x-2\sin^3 x+2\sin x-2\sin^3 x$$
$$=3\sin x-4\sin^3 x.$$

Тождество доказано.

б) Представим $$3x$$ в виде $$x+2x$$:

$$\cos 3x=\cos(x+2x)=\cos x\cos 2x-\sin x\sin 2x$$
$$=\cos x(\cos^2 x-\sin^2 x)-\sin x\cdot 2\sin x\cos x$$
$$=\cos^3 x-\cos x\sin^2 x-2\sin^2 x\cos x$$
$$=\cos^3 x-3\sin^2 x\cos x$$
$$=\cos^3 x-3(1-\cos^2 x)\cos x$$
$$=\cos^3 x-3\cos x+3\cos^3 x$$
$$=4\cos^3 x-3\cos x.$$

Тождество доказано.