Упр.21.39 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\cos\frac{\pi}{33}\cdot\cos\frac{2\pi}{33}\cdot\cos\frac{4\pi}{33}\cdot\cos\frac{8\pi}{33}\cdot\cos\frac{16\pi}{33}$$; б) $$\cos\frac{\pi}{7}\cdot\cos\frac{4\pi}{7}\cdot\cos\frac{5\pi}{7}$$.

а) Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$ и последовательно «сворачиваем» произведение:

$$\cos \frac{\pi}{33}\cdot \cos \frac{2\pi}{33}\cdot \cos \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$

$$=\frac{1}{2\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{2\pi}{33}\cdot \cos \frac{2\pi}{33}\cdot \cos \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$

$$=\frac{1}{4\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$

$$=\frac{1}{8\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33}$$

$$=\frac{1}{16\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{16\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33} =\frac{1}{32\sin \frac{\pi}{33}}\sin \frac{32\pi}{33}$$

Так как $$\sin \frac{32\pi}{33}=\sin\left(\pi-\frac{\pi}{33}\right)=\sin \frac{\pi}{33},$$ то

$$\cos \frac{\pi}{33}\cdot \cos \frac{2\pi}{33}\cdot \cos \frac{4\pi}{33}\cdot \cos \frac{8\pi}{33}\cdot \cos \frac{16\pi}{33} =\frac{1}{32}.$$

б) Аналогично:

$$\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7}\cdot \cos \frac{5\pi}{7} =\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7}\cdot \bigl(-\cos \frac{2\pi}{7}\bigr)$$

Но удобнее воспользоваться тождеством $$\cos(\pi-x)=-\cos x$$:

$$\cos \frac{4\pi}{7}=-\cos \frac{3\pi}{7}, \qquad \cos \frac{5\pi}{7}=-\cos \frac{2\pi}{7}.$$

Тогда

$$\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7}\cdot \cos \frac{5\pi}{7} =\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{3\pi}{7}\cdot \cos \frac{2\pi}{7}.$$

Из известной формулы

$$\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{2\pi}{7}\cdot \cos \frac{3\pi}{7}=\frac{1}{8}$$

получаем

$$\cos \frac{\pi}{7}\cdot \cos \frac{4\pi}{7}\cdot \cos \frac{5\pi}{7}=\frac{1}{8}.$$

Ответ

а) $$\frac{1}{32}$$; б) $$\frac{1}{8}$$.