Упр.21.37 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что $$\cos 2x=\frac{5}{13}$$. Вычислите: а) $$\sin^4 x+\cos^4 x$$; б) $$\sin^8 x-\cos^8 x$$.

Найдём сначала $$\sin^2 x$$ и $$\cos^2 x$$ по формуле двойного угла:

$$\sin^2 x=\frac{1-\cos 2x}{2}=\frac{1-\frac{5}{13}}{2}=\frac{4}{13},$$

$$\cos^2 x=\frac{1+\cos 2x}{2}=\frac{1+\frac{5}{13}}{2}=\frac{9}{13}.$$

Тогда

$$\sin^4 x+\cos^4 x=(\sin^2 x+\cos^2 x)^2-2\sin^2 x\cos^2 x.$$

Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1,$$ получаем

$$\sin^4 x+\cos^4 x=1-2\cdot\frac{4}{13}\cdot\frac{9}{13}=1-\frac{72}{169}=\frac{97}{169}.$$

Теперь вычислим

$$\sin^8 x-\cos^8 x=(\sin^4 x-\cos^4 x)(\sin^4 x+\cos^4 x).$$

Причём

$$\sin^4 x-\cos^4 x=(\sin^2 x-\cos^2 x)(\sin^2 x+\cos^2 x)=\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x=-\frac{5}{13}.$$

Значит,

$$\sin^8 x-\cos^8 x=-\frac{5}{13}\cdot\frac{97}{169}=-\frac{485}{2197}.$$

Ответ: а) $$\frac{97}{169}$$; б) $$-\frac{485}{2197}$$.