Упр.21.36 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение $$\sqrt{1-\cos 2t}+\sqrt{1+\cos 2t}$$, если:
   а) $$t\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$;
   б) $$t\in\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]$$;
   в) $$t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$;
   г) $$t\in\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$.

Используем формулы

$$1-\cos 2t=2\sin^2 t,\qquad 1+\cos 2t=2\cos^2 t.$$

Тогда

$$\sqrt{1-\cos 2t}+\sqrt{1+\cos 2t}=\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|.$$

а) $$t\in\left[\frac{\pi}{2};\pi\right]$$

На этом промежутке $$\sin t\ge 0,\ \cos t\le 0,$$ значит

$$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=\sqrt{2}(\sin t-\cos t).$$

Преобразуем:

$$\sqrt{2}(\sin t-\cos t)=2\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ: $$2\sin\left(t-\frac{\pi}{4}\right).$$

б) $$t\in\left[\frac{3\pi}{2};2\pi\right]$$

Здесь $$\sin t\le 0,\ \cos t\ge 0,$$ поэтому

$$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=\sqrt{2}(-\sin t+\cos t).$$

Тогда

$$\sqrt{2}(\cos t-\sin t)=2\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right).$$

Ответ: $$2\sin\left(\frac{\pi}{4}-t\right).$$

в) $$t\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$

На этом промежутке $$\sin t\ge 0,\ \cos t\ge 0,$$ значит

$$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=\sqrt{2}(\sin t+\cos t).$$

Преобразуем:

$$\sqrt{2}(\sin t+\cos t)=2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ: $$2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

г) $$t\in\left[\pi;\frac{3\pi}{2}\right]$$

Здесь $$\sin t\le 0,\ \cos t\le 0,$$ поэтому

$$\sqrt{2}\,|\sin t|+\sqrt{2}\,|\cos t|=\sqrt{2}(-\sin t-\cos t).$$

Тогда

$$\sqrt{2}(-\sin t-\cos t)=-2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$

Ответ: $$-2\sin\left(t+\frac{\pi}{4}\right).$$