Упр.21.34 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Воспользуемся формулами понижения степени и формулами двойного аргумента.

а)

$$\cos^2 t-\cos^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1+\cos 2t}{2}-\frac{1+\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)}{2}$$
$$=\frac{1}{2}\left(\cos 2t-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)\right)$$
$$=\frac{1}{2}\left(\cos 2t-\sin 2t\right)$$
$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin\frac{\pi}{4}\cdot \cos 2t-\cos\frac{\pi}{4}\cdot \sin 2t\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(\frac{\pi}{4}-2t\right).$$

Тождество доказано.

б)

$$\sin^2 t-\sin^2\left(\frac{\pi}{4}-t\right) =\frac{1-\cos 2t}{2}-\frac{1-\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)}{2}$$
$$=\frac{1}{2}\left(\cos\left(\frac{\pi}{2}-2t\right)-\cos 2t\right)$$
$$=\frac{1}{2}\left(\sin 2t-\cos 2t\right)$$
$$=\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\sin 2t\cdot \cos\frac{\pi}{4}-\cos 2t\cdot \sin\frac{\pi}{4}\right) =\frac{1}{\sqrt{2}}\sin\left(2t-\frac{\pi}{4}\right).$$

Тождество доказано.