Упр.21.33 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Докажите тождество: а) $$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}=\tg t$$; б) $$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}=\tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right)$$.

Воспользуемся формулами

$$\cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t,$$

$$\sin 2t=2\sin t\cos t,$$

$$1=\sin^2 t+\cos^2 t.$$

а)

$$\frac{1-\cos 2t+\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}$$

$$=\frac{1-(\cos^2 t-\sin^2 t)+2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t+\cos^2 t-\sin^2 t}$$

$$=\frac{\sin^2 t+\sin^2 t+2\sin t\cos t}{\cos^2 t+\cos^2 t+2\sin t\cos t}$$

$$=\frac{2\sin t(\sin t+\cos t)}{2\cos t(\sin t+\cos t)}$$

$$=\frac{\sin t}{\cos t}=\tg t.$$

Тождество доказано.

б)

$$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}$$

$$=\frac{1+(\cos^2 t-\sin^2 t)-2\sin t\cos t}{1+2\sin t\cos t+\cos^2 t-\sin^2 t}$$

$$=\frac{\cos^2 t+\cos^2 t-2\sin t\cos t}{\cos^2 t+\cos^2 t+2\sin t\cos t}$$

$$=\frac{2\cos t(\cos t-\sin t)}{2\cos t(\cos t+\sin t)}$$

$$=\frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}.$$

Теперь преобразуем правую часть:

$$\tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}-\tg t}{1+\tg\frac{\pi}{4}\tg t}=\frac{1-\tg t}{1+\tg t}$$

$$=\frac{1-\frac{\sin t}{\cos t}}{1+\frac{\sin t}{\cos t}}=\frac{\cos t-\sin t}{\cos t+\sin t}.$$

Следовательно,

$$\frac{1+\cos 2t-\sin 2t}{1+\sin 2t+\cos 2t}=\tg\left(\frac{\pi}{4}-t\right).$$

Тождество доказано.