Упр.21.32 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\frac{1+\cos 40+\cos 80}{\sin 80+\sin 40}\cdot\operatorname{tg}40$$; б) $$\frac{1-\cos 25+\cos 50}{\sin 50-\sin 25}-\operatorname{tg}65$$

а) Преобразуем числитель и знаменатель, используя формулы $$\cos 80^\circ = 2\cos^2 40^\circ — 1$$ и $$\sin 80^\circ = 2\sin 40^\circ \cos 40^\circ$$:

$$\frac{1+\cos 40^\circ+\cos 80^\circ}{\sin 80^\circ+\sin 40^\circ}\cdot \tg 40^\circ = \frac{(1+\cos 80^\circ)+\cos 40^\circ}{2\sin 40^\circ\cos 40^\circ+\sin 40^\circ}\cdot \tg 40^\circ$$

$$= \frac{2\cos^2 40^\circ+\cos 40^\circ}{\sin 40^\circ(2\cos 40^\circ+1)}\cdot \tg 40^\circ = \frac{\cos 40^\circ(2\cos 40^\circ+1)}{\sin 40^\circ(2\cos 40^\circ+1)}\cdot \tg 40^\circ$$

$$= \ctg 40^\circ\cdot \tg 40^\circ=1.$$

б) Аналогично, используем формулы $$\cos 50^\circ = 1-2\sin^2 25^\circ$$ и $$\sin 50^\circ = 2\sin 25^\circ\cos 25^\circ$$:

$$\frac{1-\cos 25^\circ+\cos 50^\circ}{\sin 50^\circ-\sin 25^\circ}-\tg 65^\circ = \frac{(1+\cos 50^\circ)-\cos 25^\circ}{\sin 50^\circ-\sin 25^\circ}-\tg 65^\circ$$

$$= \frac{2\cos^2 25^\circ-\cos 25^\circ}{2\sin 25^\circ\cos 25^\circ-\sin 25^\circ}-\tg 65^\circ = \frac{\cos 25^\circ(2\cos 25^\circ-1)}{\sin 25^\circ(2\cos 25^\circ-1)}-\tg 65^\circ$$

$$= \ctg 25^\circ-\tg 65^\circ.$$

Так как $$\ctg 25^\circ=\tg(90^\circ-25^\circ)=\tg 65^\circ,$$ то

$$\ctg 25^\circ-\tg 65^\circ=0.$$

Ответ: а) $$1$$; б) $$0$$.