Упр.21.30 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[0; 2\pi]$$:
а) $$\cos 2x + 3\sin x = 1$$;
б) $$\sin^2 x = -\cos 2x$$;
в) $$\cos 2x = \cos^2 x$$;
г) $$\cos 2x = 2\sin^2 x$$.
а) $$\cos 2x+3\sin x=1$$
Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$ и тождество $$\cos^2 x+\sin^2 x=1$$:
$$\cos^2 x-\sin^2 x+3\sin x-(\cos^2 x+\sin^2 x)=0$$
$$-2\sin^2 x+3\sin x=0$$
$$\sin x(2\sin x-3)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0$$
или
$$2\sin x-3=0 \Rightarrow \sin x=\frac{3}{2}$$
Второе уравнение решений не имеет, так как $$\left|\sin x\right|\le 1$$.
Значит, $$\sin x=0$$, откуда на отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:
$$x=0,\ \pi,\ 2\pi$$
б) $$\sin^2 x=-\cos 2x$$
Перенесём всё в одну сторону и подставим формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$\sin^2 x+\cos 2x=0$$
$$\sin^2 x+\cos^2 x-\sin^2 x=0$$
$$\cos^2 x=0$$
$$\cos x=0$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
На отрезке $$[0;2\pi]$$:
$$x=\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$$
в) $$\cos 2x=\cos^2 x$$
Подставим $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$\cos^2 x-\sin^2 x=\cos^2 x$$
$$-\sin^2 x=0$$
$$\sin x=0$$
Следовательно,
$$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
На отрезке $$[0;2\pi]$$:
$$x=0,\ \pi,\ 2\pi$$
г) $$\cos 2x=2\sin^2 x$$
Используем формулу $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x$$:
$$\cos^2 x-\sin^2 x=2\sin^2 x$$
$$\cos^2 x-3\sin^2 x=0$$
Так как $$\cos^2 x=1-\sin^2 x$$, получаем:
$$1-\sin^2 x-3\sin^2 x=0$$
$$4\sin^2 x=1$$
$$\sin^2 x=\frac14$$
$$\sin x=\pm\frac12$$
Отсюда
$$x=\pm\frac{\pi}{6}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z$$
На отрезке $$[0;2\pi]$$ получаем:
$$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$
Ответ: а) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$; б) $$\frac{\pi}{2},\ \frac{3\pi}{2}$$; в) $$0,\ \pi,\ 2\pi$$; г) $$\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6},\ \frac{7\pi}{6},\ \frac{11\pi}{6}$$.
