Упр.21.29 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{3}{4}$$;
   б) $$\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1$$;
   в) $$\sin^2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{2}$$;
   г) $$\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{3}{4}$$.

а) $$\sin^2\left(2x-\frac{\pi}{6}\right)=\frac34$$

Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:

$$\frac{1-\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)}{2}=\frac34$$

$$1-\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=\frac32$$

$$\cos\left(4x-\frac{\pi}{3}\right)=-\frac12$$

Тогда

$$4x-\frac{\pi}{3}=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

1) $$4x-\frac{\pi}{3}=\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

$$4x=\pi+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

2) $$4x-\frac{\pi}{3}=-\frac{2\pi}{3}+2\pi n$$

$$4x=-\frac{\pi}{3}+2\pi n,\qquad x=-\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\; -\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) $$\cos^2\left(x+\frac{\pi}{3}\right)=1$$

Так как $$\cos^2 t=1$$ только при $$\cos t=\pm1$$, получаем:

$$x+\frac{\pi}{3}=\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

в) $$\sin^2\left(x+\frac{\pi}{2}\right)=\frac12$$

Используем формулу $$\sin^2 t=\frac{1-\cos 2t}{2}$$:

$$\frac{1-\cos(2x+\pi)}{2}=\frac12$$

$$1-\cos(2x+\pi)=1$$

$$\cos(2x+\pi)=0$$

Следовательно,

$$2x+\pi=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

$$2x=-\frac{\pi}{2}+\pi n$$

$$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}$$

Ответ: $$x=-\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

г) $$\cos^2\left(3x-\frac{\pi}{4}\right)=\frac34$$

Используем формулу $$\cos^2 t=\frac{1+\cos 2t}{2}$$:

$$\frac{1+\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)}{2}=\frac34$$

$$1+\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac32$$

$$\cos\left(6x-\frac{\pi}{2}\right)=\frac12$$

Тогда

$$6x-\frac{\pi}{2}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$

1) $$6x-\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$6x=\frac{5\pi}{6}+2\pi n,\qquad x=\frac{5\pi}{36}+\frac{\pi n}{3}$$

2) $$6x-\frac{\pi}{2}=-\frac{\pi}{3}+2\pi n$$

$$6x=\frac{\pi}{6}+2\pi n,\qquad x=\frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{3}$$

Ответ: $$x=\frac{5\pi}{36}+\frac{\pi n}{3},\; \frac{\pi}{36}+\frac{\pi n}{3},\quad n\in\mathbb Z.$$