Упр.21.28 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$\sin^2 2x = 1$$; б) $$\cos^2 4x = \frac{1}{2}$$; в) $$\sin^2 \frac{x}{2} = \frac{3}{4}$$; г) $$\cos^2 \frac{x}{4} = \frac{1}{4}$$.
a) $$\sin^2 2x=1$$
Используем формулу $$\sin^2 t=1-\cos^2 t$$, тогда
$$\sin^2 2x=1 \;\Longrightarrow\; \sin 2x=\pm 1.$$
Значит,
$$2x=\frac{\pi}{2}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z.$$
б) $$\cos^2 4x=\frac12$$
Тогда
$$\cos 4x=\pm \frac{\sqrt2}{2}.$$
Следовательно,
$$4x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\quad k\in\mathbb Z,$$
и
$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\quad k\in\mathbb Z.$$
в) $$\sin^2 \frac{x}{2}=\frac34$$
Получаем
$$\sin \frac{x}{2}=\pm \frac{\sqrt3}{2}.$$
Тогда
$$\frac{x}{2}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
откуда
$$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
г) $$\cos^2 \frac{x}{4}=\frac14$$
Тогда
$$\cos \frac{x}{4}=\pm \frac12.$$
Следовательно,
$$\frac{x}{4}=\pm \frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$
и
$$x=\pm \frac{4\pi}{3}+4\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{4}+\frac{\pi k}{2},\ k\in\mathbb Z$$; б) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi k}{8},\ k\in\mathbb Z$$; в) $$x=\pm \frac{2\pi}{3}+2\pi k,\ k\in\mathbb Z$$; г) $$x=\pm \frac{4\pi}{3}+4\pi k,\ k\in\mathbb Z$$.
