Упр.21.27 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Преобразуем левую часть с помощью формул половинного аргумента:

$$1-\cos x=2\sin^2\frac{x}{2},$$

$$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}.$$

Тогда уравнение принимает вид

$$2\sin^2\frac{x}{2}=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\sin\frac{x}{2},$$

$$2\sin^2\frac{x}{2}-2\sin^2\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}=0,$$

$$2\sin^2\frac{x}{2}\left(1-\cos\frac{x}{2}\right)=0.$$

Отсюда:

$$\sin\frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad 1-\cos\frac{x}{2}=0.$$

1) $$\sin\frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n.$$

2) $$\cos\frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=2\pi n \Rightarrow x=4\pi n.$$

Но все значения $$x=4\pi n$$ уже входят в множество $$x=2\pi n$$, поэтому

Ответ: $$x=2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$

б) Используем формулу

$$\tan^2\frac{x}{2}=\frac{1-\cos x}{1+\cos x}.$$

Тогда

$$\sin x=\tan^2\frac{x}{2}(1+\cos x)=1-\cos x.$$

Получаем уравнение

$$\sin x+\cos x=1.$$

Представим левую часть в виде одной тригонометрической функции:

$$\sin x+\cos x=\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

Тогда

$$\sqrt2\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=1,$$

$$\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\sqrt2}{2}.$$

Отсюда

$$x+\frac{\pi}{4}=\frac{\pi}{4}+2\pi n \quad \text{или} \quad x+\frac{\pi}{4}=\frac{3\pi}{4}+2\pi n,$$

$$x=2\pi n \quad \text{или} \quad x=\frac{\pi}{2}+2\pi n.$$

Проверим область определения: $$1+\cos x\ne 0,$$ то есть $$\cos x\ne -1,$$ значит $$x\ne \pi+2\pi n.$$ Найденные решения этому условию удовлетворяют.

Ответ: $$x=2\pi n,\; x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z.$$