Упр.21.26 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

• а) $$1-\cos x=2\sin\frac{x}{2}$$; б) $$1+\cos x=2\cos\frac{x}{2}$$.

а) $$1-\cos x=2\sin \frac{x}{2}$$

Используем формулу $$1-\cos x=2\sin^2 \frac{x}{2}$$:

$$2\sin^2 \frac{x}{2}=2\sin \frac{x}{2}$$

$$\sin^2 \frac{x}{2}-\sin \frac{x}{2}=0$$

$$\sin \frac{x}{2}\left(\sin \frac{x}{2}-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\sin \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \sin \frac{x}{2}=1$$

1) $$\sin \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\pi n \Rightarrow x=2\pi n$$

2) $$\sin \frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+2\pi n \Rightarrow x=\pi+4\pi n$$

б) $$1+\cos x=2\cos \frac{x}{2}$$

Используем формулу $$1+\cos x=2\cos^2 \frac{x}{2}$$:

$$2\cos^2 \frac{x}{2}=2\cos \frac{x}{2}$$

$$\cos^2 \frac{x}{2}-\cos \frac{x}{2}=0$$

$$\cos \frac{x}{2}\left(\cos \frac{x}{2}-1\right)=0$$

Отсюда:

$$\cos \frac{x}{2}=0 \quad \text{или} \quad \cos \frac{x}{2}=1$$

1) $$\cos \frac{x}{2}=0 \Rightarrow \frac{x}{2}=\frac{\pi}{2}+\pi n \Rightarrow x=\pi+2\pi n$$

2) $$\cos \frac{x}{2}=1 \Rightarrow \frac{x}{2}=2\pi n \Rightarrow x=4\pi n$$

Ответ: а) $$x=2\pi n,\ \pi+4\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$; б) $$x=\pi+2\pi n,\ 4\pi n,\ n\in \mathbb{Z}$$.