Упр.21.25 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) $$\sin x\cdot\cos x=\frac{1}{4}$$;
б) $$\sin 4x\cdot\cos 4x=\frac{1}{2}$$;
в) $$\cos^2\frac{x}{3}-\sin^2\frac{x}{3}=\frac{1}{2}$$;
г) $$\sin^2x-\cos^2x=\frac{1}{2}$$.
Используем формулы двойного аргумента.
а)
$$\sin x\cos x=\frac14$$
$$2\sin x\cos x=\frac12$$
$$\sin 2x=\frac12$$
$$2x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$
б)
$$\sin 4x\cos 4x=\frac12$$
$$2\sin 4x\cos 4x=1$$
$$\sin 8x=1$$
$$8x=\frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}$$
в)
$$\cos^2\frac{x}{3}-\sin^2\frac{x}{3}=\frac12$$
$$\cos\frac{2x}{3}=\frac12$$
$$\frac{2x}{3}=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm\frac{\pi}{2}+3\pi n$$
г)
$$\sin^2 x-\cos^2 x=\frac12$$
$$\cos^2 x-\sin^2 x=-\frac12$$
$$\cos 2x=-\frac12$$
$$2x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z$$
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$
Ответ: а) $$x=(-1)^n\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2}$$; б) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4}$$; в) $$x=\pm\frac{\pi}{2}+3\pi n$$; г) $$x=\pm\frac{\pi}{3}+\pi n$$, $$n\in\mathbb Z$$.
