Упр.21.24 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- Решите уравнение: а) $$\sin 2x — 2\cos x = 0$$; б) $$\sin 2x — \sin x = 0$$; в) $$2\sin x = \sin 2x$$; г) $$\sin 2x + \cos x = 0$$.
а) $$\sin 2x-2\cos x=0$$
Используем формулу $$\sin 2x=2\sin x\cos x$$:
$$2\sin x\cos x-2\cos x=0$$
$$2\cos x(\sin x-1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=1.$$
Тогда
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
б) $$\sin 2x-\sin x=0$$
$$2\sin x\cos x-\sin x=0$$
$$\sin x(2\cos x-1)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=\frac12.$$
Следовательно,
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
или
$$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
в) $$2\sin x=\sin 2x$$
$$2\sin x-2\sin x\cos x=0$$
$$2\sin x(1-\cos x)=0$$
Отсюда:
$$\sin x=0 \quad \text{или} \quad \cos x=1.$$
Оба случая дают
$$x=\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
г) $$\sin 2x+\cos x=0$$
$$2\sin x\cos x+\cos x=0$$
$$\cos x(2\sin x+1)=0$$
Отсюда:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=-\frac12.$$
Следовательно,
$$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z,$$
или
$$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
Ответ
а) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; б) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$ или $$x=\pm\frac{\pi}{3}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; в) $$x=\pi n,\ n\in\mathbb Z$$; г) $$x=\frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$ или $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z$$.
