Упр.21.23 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите (с помощью формул понижения степени): а) $$\sin 22{,}5$$; б) $$\cos 22{,}5$$; в) $$\sin \frac{3\pi}{8}$$; г) $$\cos \frac{3\pi}{8}$$.

Используем формулы понижения степени:

$$\sin \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}, \qquad \cos \frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}.$$

Все данные углы принадлежат отрезку $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right],$$ поэтому берём положительные значения корней.

1. $$\sin 22{,}5^\circ=\sin \frac{45^\circ}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos 45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

2. $$\cos 22{,}5^\circ=\cos \frac{45^\circ}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos 45^\circ}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

3. $$\sin \frac{3\pi}{8}=\sin \frac{1}{2}\cdot \frac{3\pi}{4}=\sqrt{\frac{1-\cos \frac{3\pi}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\left(-\frac{\sqrt2}{2}\right)}{2}}=\sqrt{\frac{2+\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}.$$

4. $$\cos \frac{3\pi}{8}=\cos \frac{1}{2}\cdot \frac{3\pi}{4}=\sqrt{\frac{1+\cos \frac{3\pi}{4}}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt2}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt2}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}.$$

Ответ: а) $$\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$$; б) $$\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$$; в) $$\frac{\sqrt{2+\sqrt2}}{2}$$; г) $$\frac{\sqrt{2-\sqrt2}}{2}$$.