Упр.21.21 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
а) Используем формулу $$\sin\left(\frac{\pi}{2}-x\right)=\cos x$$:
$$\frac{1+\sin\left(\frac{\pi}{2}-6t\right)}{2} = \frac{1+\cos 6t}{2} = \frac{1+\cos 2\cdot 3t}{2} = \cos^2 3t.$$
Тождество доказано.
б) Преобразуем левую часть:
$$\frac{1-\cos t}{1+\cos t} = \frac{\left(\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}\right)-\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)} {\left(\sin^2\frac{t}{2}+\cos^2\frac{t}{2}\right)+\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)} = \frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\cos^2\frac{t}{2}} = \tg^2\frac{t}{2}.$$
Тождество доказано.
в) Так как $$\cos(6t-3\pi)=\cos(6t-\pi),$$ то
$$\frac{1-\cos(6t-3\pi)}{2} = \frac{1-\cos(6t-\pi)}{2} = \frac{1+\cos 6t}{2} = \cos^2 3t.$$
Тождество доказано.
г) Преобразуем левую часть:
$$\frac{1-\cos t}{\sin t} = \frac{\left(\cos^2\frac{t}{2}+\sin^2\frac{t}{2}\right)-\left(\cos^2\frac{t}{2}-\sin^2\frac{t}{2}\right)} {2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}} = \frac{2\sin^2\frac{t}{2}}{2\sin\frac{t}{2}\cos\frac{t}{2}} = \tg\frac{t}{2}.$$
Тождество доказано.
