Упр.21.19 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\operatorname{ctg} t-\sin 2t=\operatorname{ctg} t\cdot\cos 2t$$;
   б) $$\sin 2t-\operatorname{tg} t=\cos 2t\cdot\operatorname{tg} t$$.

а) Преобразуем левую часть:

$$\ctg t-\sin 2t=\ctg t-2\sin t\cos t=\ctg t-2\sin^2 t\cdot \ctg t$$

$$=\ctg t\,(1-2\sin^2 t)=\ctg t\,(\sin^2 t+\cos^2 t-2\sin^2 t)$$

$$=\ctg t\,(\cos^2 t-\sin^2 t)=\ctg t\cdot \cos 2t.$$

Тождество доказано.

б) Преобразуем левую часть:

$$\sin 2t-\tg t=2\sin t\cos t-\tg t=2\cos^2 t\cdot \tg t-\tg t$$

$$=\tg t\,(2\cos^2 t-1)=\tg t\,(\cos^2 t-\sin^2 t)=\tg t\cdot \cos 2t.$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\ctg t-\sin 2t=\ctg t\cdot \cos 2t$$; б) $$\sin 2t-\tg t=\cos 2t\cdot \tg t$$.