Упр.21.18 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\cos^4 t-\sin^4 t=\cos 2t$$;
   б) $$\cos^4 t+\sin^4 t=1-\frac{1}{2}\sin^2 2t$$.

а) $$\cos^4 t-\sin^4 t=(\cos^2 t-\sin^2 t)(\cos^2 t+\sin^2 t).$$

Так как $$\cos^2 t+\sin^2 t=1,$$ а $$\cos^2 t-\sin^2 t=\cos 2t,$$ то

$$\cos^4 t-\sin^4 t=\cos 2t\cdot 1=\cos 2t.$$

Тождество доказано.

б) $$\cos^4 t+\sin^4 t=(\cos^2 t+\sin^2 t)^2-2\sin^2 t\cos^2 t.$$

Используем формулы $$\cos^2 t+\sin^2 t=1$$ и $$\sin 2t=2\sin t\cos t,$$ тогда

$$\cos^4 t+\sin^4 t=1-2\sin^2 t\cos^2 t=1-\frac12\sin^2 2t.$$

Тождество доказано.

Ответ

а) $$\cos^4 t-\sin^4 t=\cos 2t$$; б) $$\cos^4 t+\sin^4 t=1-\frac12\sin^2 2t.$$