Упр.21.17 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество: а) $$(\sin t-\cos t)^2=1-\sin 2t$$; б) $$2\cos^2 t=1+\cos 2t$$; в) $$(\sin t+\cos t)^2=1+\sin 2t$$; г) $$2\sin^2 t=1-\cos 2t$$.

Проверим каждое тождество, используя формулы:

$$\sin^2 t+\cos^2 t=1,$$

$$\sin 2t=2\sin t\cos t,$$

$$\cos 2t=\cos^2 t-\sin^2 t.$$

1. $$(\sin t-\cos t)^2=\sin^2 t-2\sin t\cos t+\cos^2 t$$

   $$=(\sin^2 t+\cos^2 t)-2\sin t\cos t=1-\sin 2t$$

2. $$1+\cos 2t=(\sin^2 t+\cos^2 t)+(\cos^2 t-\sin^2 t)=2\cos^2 t$$

3. $$(\sin t+\cos t)^2=\sin^2 t+2\sin t\cos t+\cos^2 t$$

   $$=(\sin^2 t+\cos^2 t)+2\sin t\cos t=1+\sin 2t$$

4. $$1-\cos 2t=(\sin^2 t+\cos^2 t)-(\cos^2 t-\sin^2 t)=2\sin^2 t$$

Все тождества доказаны.