Упр.21.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$\left(1-\operatorname{tg}^2 t\right)\cos^2 t$$

б) $$2\cos^2\frac{\pi+t}{4}-2\sin^2\frac{\pi+t}{4}$$

а) Используем формулу $$1-\tg^2 t=\frac{\cos^2 t-\sin^2 t}{\cos^2 t}.$$ Тогда

$$(1-\tg^2 t)\cos^2 t = \left(1-\frac{\sin^2 t}{\cos^2 t}\right)\cos^2 t = \cos^2 t-\sin^2 t = \cos 2t.$$

Ответ: $$\cos 2t.$$

б) Преобразуем выражение по формуле $$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x.$$ Получаем

$$2\cos^2\frac{\pi+t}{4}-2\sin^2\frac{\pi+t}{4} = 2\left(\cos^2\frac{\pi+t}{4}-\sin^2\frac{\pi+t}{4}\right) = 2\cos\left(2\cdot\frac{\pi+t}{4}\right).$$

$$2\cos\left(\frac{\pi+t}{2}\right) = 2\cos\left(\frac{\pi}{2}+\frac{t}{2}\right) = -2\sin\frac{t}{2}.$$

Ответ: $$-2\sin\frac{t}{2}.$$