Упр.21.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Упростите выражение: а) $$\frac{\sin t}{2\cos^2\frac{t}{2}}$$; б) $$\frac{\cos t}{\cos\frac{t}{2}+\sin\frac{t}{2}}$$; в) $$\frac{\sin 4t}{\cos 2t}$$; г) $$\frac{\cos 2t-\sin 2t}{\cos 4t}$$.

а) Используем формулу $$\sin t=2\sin \frac t2 \cos \frac t2$$:

$$\frac{\sin t}{2\cos^2 \frac t2} = \frac{2\sin \frac t2 \cos \frac t2}{2\cos^2 \frac t2} = \frac{\sin \frac t2}{\cos \frac t2} = \tg \frac t2$$

Ответ: $$\tg \frac t2$$

б) Преобразуем числитель по формуле $$\cos t=\cos^2 \frac t2-\sin^2 \frac t2$$:

$$\frac{\cos t}{\cos \frac t2+\sin \frac t2} = \frac{\cos^2 \frac t2-\sin^2 \frac t2}{\cos \frac t2+\sin \frac t2} = \frac{\left(\cos \frac t2-\sin \frac t2\right)\left(\cos \frac t2+\sin \frac t2\right)}{\cos \frac t2+\sin \frac t2} = \cos \frac t2-\sin \frac t2$$

Ответ: $$\cos \frac t2-\sin \frac t2$$

в) Используем формулу $$\sin 4t=2\sin 2t\cos 2t$$:

$$\frac{\sin 4t}{\cos 2t} = \frac{2\sin 2t\cos 2t}{\cos 2t} = 2\sin 2t$$

Ответ: $$2\sin 2t$$

г) Преобразуем знаменатель по формуле $$\cos 4t=\cos^2 2t-\sin^2 2t$$:

$$\frac{\cos 2t-\sin 2t}{\cos 4t} = \frac{\cos 2t-\sin 2t}{\cos^2 2t-\sin^2 2t} = \frac{\cos 2t-\sin 2t}{\left(\cos 2t-\sin 2t\right)\left(\cos 2t+\sin 2t\right)} = \frac{1}{\cos 2t+\sin 2t}$$

Ответ: $$\frac{1}{\cos 2t+\sin 2t}$$