Упр.21.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Дано: $$\sin 2x=-\frac{3}{5}$$, $$\frac{\pi}{2}

б) Дано: $$\operatorname{tg} 2x=\frac{3}{4}$$, $$\pi

а) Так как $$\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{4},$$ то угол $$x$$ лежит во второй четверти, где $$\sin x>0,\ \cos x<0.$$

Из условия $$\sin 2x=-\frac{3}{5}.$$ Поскольку $$\frac{\pi}{2}<x<\frac{3\pi}{4},$$ то $$\pi<2x<\frac{3\pi}{2},$$ значит, $$2x$$ находится в третьей четверти, и потому $$\cos 2x<0.$$ Тогда

$$\cos 2x=-\sqrt{1-\sin^2 2x}=-\sqrt{1-\frac{9}{25}}=-\sqrt{\frac{16}{25}}=-\frac{4}{5}.$$

Теперь найдём $$\cos x$$ и $$\sin x$$ по формулам половинного угла:

$$\cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac45}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}},$$

$$\sin x=\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}}=\sqrt{\frac{9}{10}}=\frac{3}{\sqrt{10}}.$$

Тогда

$$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/\sqrt{10}}{-1/\sqrt{10}}=-3,$$

$$\ctg x=\frac{1}{\tg x}=-\frac{1}{3}.$$

б) Так как $$\pi<x<\frac{5\pi}{4},$$ то угол $$x$$ лежит в третьей четверти, где $$\sin x<0,\ \cos x<0.$$

Из условия $$\tg 2x=\frac{3}{4}.$$ Поскольку $$\pi<x<\frac{5\pi}{4},$$ то $$2\pi<2x<\frac{5\pi}{2},$$ а значит, $$2x$$ находится в первой четверти, где $$\cos 2x>0.$$

Найдём $$\cos 2x$$:

$$\cos 2x=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 2x}}=\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac34\right)^2}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{16}}}=\frac{4}{5}.$$

Теперь вычислим искомые значения:

$$\cos x=-\sqrt{\frac{1+\cos 2x}{2}}=-\sqrt{\frac{1+\frac45}{2}}=-\sqrt{\frac{9}{10}}=-\frac{3}{\sqrt{10}},$$

$$\sin x=-\sqrt{\frac{1-\cos 2x}{2}}=-\sqrt{\frac{1-\frac45}{2}}=-\sqrt{\frac{1}{10}}=-\frac{1}{\sqrt{10}},$$

$$\tg x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{-1/\sqrt{10}}{-3/\sqrt{10}}=\frac{1}{3},$$

$$\ctg x=\frac{1}{\tg x}=3.$$

Ответ

а) $$\cos x=-\frac{1}{\sqrt{10}},\ \sin x=\frac{3}{\sqrt{10}},\ \tg x=-3,\ \ctg x=-\frac{1}{3}.$$
б) $$\cos x=-\frac{3}{\sqrt{10}},\ \sin x=-\frac{1}{\sqrt{10}},\ \tg x=\frac{1}{3},\ \ctg x=3.$$