Упр.21.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) Дано: $$\cos t=\frac{3}{4}$$, $$0

б) Дано: $$\operatorname{ctg}t=\frac{3}{4}$$, $$\pi

а) Так как $$0<t<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$\frac{t}{2}$$ тоже лежит в первой четверти, значит, все его тригонометрические функции положительны.

Используем формулы половинного угла:

$$\cos \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1+\frac34}{2}}=\sqrt{\frac{7}{8}}=\frac{\sqrt{14}}{4},$$
$$\sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}}=\sqrt{\frac{1-\frac34}{2}}=\sqrt{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt2}{4}.$$

Тогда

$$\tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}}=\frac{\frac{\sqrt2}{4}}{\frac{\sqrt{14}}{4}}=\frac{1}{\sqrt7}=\frac{\sqrt7}{7},$$
$$\ctg \frac{t}{2}=\frac{1}{\tg \frac{t}{2}}=\sqrt7.$$

б) Так как $$\ctg t=\frac34$$ и $$\pi<t<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$t$$ находится в третьей четверти, следовательно, $$\sin t<0$$ и $$\cos t<0.$$

Найдём $$\tg t$$:

$$\tg t=\frac{1}{\ctg t}=\frac43.$$

Тогда

$$\cos t=-\frac{1}{\sqrt{1+\tg^2 t}} =-\frac{1}{\sqrt{1+\left(\frac43\right)^2}} =-\frac{1}{\sqrt{\frac{25}{9}}} =-\frac35,$$
$$\sin t=\ctg t\cdot \cos t=\frac34\cdot\left(-\frac35\right)=-\frac45.$$

Угол $$\frac{t}{2}$$ лежит во второй четверти, поэтому $$\cos \frac{t}{2}<0,$$ а $$\sin \frac{t}{2}>0.$$ Используем формулы половинного угла:

$$\cos \frac{t}{2}=-\sqrt{\frac{1+\cos t}{2}} =-\sqrt{\frac{1-\frac35}{2}} =-\sqrt{\frac15} =-\frac{\sqrt5}{5},$$
$$\sin \frac{t}{2}=\sqrt{\frac{1-\cos t}{2}} =\sqrt{\frac{1+\frac35}{2}} =\sqrt{\frac45} =\frac{2\sqrt5}{5}.$$

$$\tg \frac{t}{2}=\frac{\sin \frac{t}{2}}{\cos \frac{t}{2}} =\frac{\frac{2\sqrt5}{5}}{-\frac{\sqrt5}{5}}=-2,$$
$$\ctg \frac{t}{2}=\frac{1}{\tg \frac{t}{2}}=-\frac12.$$

Ответ: а) $$\frac{\sqrt{14}}{4},\ \frac{\sqrt2}{4},\ \frac{\sqrt7}{7},\ \sqrt7$$; б) $$-\frac{\sqrt5}{5},\ \frac{2\sqrt5}{5},\ -2,\ -\frac12$$.