Упр.21.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что $$\cos x = 0,8$$, $$0 < x < \frac{\pi}{2}$$. Найдите: а) $$\sin 2x$$; б) $$\cos 2x$$; в) $$\tg 2x$$; г) $$\ctg 2x$$.

Так как $$\cos x=0{,}8=\frac45$$ и $$0<x<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$x$$ лежит в первой четверти, значит $$\sin x>0.$$

Найдём синус:

$$\sin x=\sqrt{1-\cos^2 x}=\sqrt{1-\left(\frac45\right)^2}=\sqrt{1-\frac{16}{25}}=\sqrt{\frac{9}{25}}=\frac35.$$

Тогда

$$\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}=\frac{3/5}{4/5}=\frac34.$$

Теперь используем формулы двойного угла:

$$\sin 2x=2\sin x\cos x=2\cdot \frac35\cdot \frac45=\frac{24}{25},$$

$$\cos 2x=\cos^2 x-\sin^2 x=\left(\frac45\right)^2-\left(\frac35\right)^2=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25},$$

$$\tan 2x=\frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}=\frac{2\cdot \frac34}{1-\left(\frac34\right)^2}=\frac{\frac32}{1-\frac{9}{16}}=\frac{\frac32}{\frac{7}{16}}=\frac{24}{7},$$

$$\cot 2x=\frac{1}{\tan 2x}=\frac{7}{24}.$$

Ответ: а) $$\frac{24}{25}$$; б) $$\frac{7}{25}$$; в) $$\frac{24}{7}$$; г) $$\frac{7}{24}$$.