Упр.20.9 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Решите уравнение:

а) $$\frac{\operatorname{tg} x+\operatorname{tg} 3x}{1-\operatorname{tg} x\cdot\operatorname{tg} 3x}=1$$;

б) $$\frac{\operatorname{tg} 5x-\operatorname{tg} 3x}{1+\operatorname{tg} 3x\cdot\operatorname{tg} 5x}=\sqrt{3}$$.

Используем формулы:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{1+\tg \alpha \cdot \tg \beta}.$$

а)

$$\frac{\tg x+\tg 3x}{1-\tg x\cdot \tg 3x}=1$$

Тогда

$$\tg(x+3x)=1,$$

$$\tg 4x=1.$$

Отсюда

$$4x=\frac{\pi}{4}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Делим на $$4$$:

$$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б)

$$\frac{\tg 5x-\tg 3x}{1+\tg 3x\cdot \tg 5x}=\sqrt{3}$$

Тогда

$$\tg(5x-3x)=\sqrt{3},$$

$$\tg 2x=\sqrt{3}.$$

Следовательно,

$$2x=\frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Делим на $$2$$:

$$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x=\frac{\pi}{16}+\frac{\pi n}{4},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

б) $$x=\frac{\pi}{6}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$