Упр.20.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Докажите тождество:
   а) $$\frac{1-\operatorname{tg} 2a}{1+\operatorname{tg} 2a}=\operatorname{tg}(45-2a)$$;
   б) $$\frac{\operatorname{tg} a+\operatorname{tg} b}{\operatorname{tg}(a+b)}+\frac{\operatorname{tg} a-\operatorname{tg} b}{\operatorname{tg}(a-b)}=2$$.

а) Используем формулу тангенса разности:

$$\tg(45^\circ-2a)=\frac{\tg45^\circ-\tg2a}{1+\tg45^\circ\cdot\tg2a}.$$

Так как $$\tg45^\circ=1,$$ получаем

$$\tg(45^\circ-2a)=\frac{1-\tg2a}{1+\tg2a}.$$

Следовательно,

$$\frac{1-\tg2a}{1+\tg2a}=\tg(45^\circ-2a).$$

Тождество доказано.

б) Преобразуем каждую дробь, используя формулы суммы и разности тангенсов:

$$\tg(a+b)=\frac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot\tg b}, \qquad \tg(a-b)=\frac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot\tg b}.$$

Тогда

$$\frac{\tg a+\tg b}{\tg(a+b)}+\frac{\tg a-\tg b}{\tg(a-b)}$$

$$=\frac{\tg a+\tg b}{\dfrac{\tg a+\tg b}{1-\tg a\cdot\tg b}}+\frac{\tg a-\tg b}{\dfrac{\tg a-\tg b}{1+\tg a\cdot\tg b}}$$

$$=1-\tg a\cdot\tg b+1+\tg a\cdot\tg b=2.$$

Тождество доказано.