Упр.20.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что $$\operatorname{tg} a=\frac{2}{5}$$, $$\operatorname{tg}\left(\frac{\pi}{2}+b\right)=-3$$. Вычислите: а) $$\operatorname{tg}(a+b)$$; б) $$\operatorname{tg}(a-b)$$.

Из условия $$\tg \alpha=\frac{2}{5}, \qquad \tg\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)=-3.$$

Так как $$\tg\left(\frac{\pi}{2}+\beta\right)=-\ctg \beta,$$ то

$$-\ctg \beta=-3 \Rightarrow \ctg \beta=3 \Rightarrow \tg \beta=\frac{1}{3}.$$

Теперь воспользуемся формулами тангенса суммы и разности:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg \alpha+\tg \beta}{1-\tg \alpha \cdot \tg \beta} =\frac{\frac{2}{5}+\frac{1}{3}}{1-\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}} =\frac{\frac{11}{15}}{\frac{13}{15}}=\frac{11}{13}.$$

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg \alpha-\tg \beta}{1+\tg \alpha \cdot \tg \beta} =\frac{\frac{2}{5}-\frac{1}{3}}{1+\frac{2}{5}\cdot\frac{1}{3}} =\frac{\frac{1}{15}}{\frac{17}{15}}=\frac{1}{17}.$$

Ответ: а) $$\frac{11}{13}$$; б) $$\frac{1}{17}$$.