Упр.20.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)$$, если $$\tg\alpha=\frac{2}{3}$$;
   б) $$\tg\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)$$, если $$\tg\alpha=\frac{4}{5}$$;
   в) $$\tg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)$$, если $$\ctg\alpha=\frac{4}{3}$$;
   г) $$\tg\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)$$, если $$\ctg\alpha=1{,}6$$.

Используем формулы:

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta},\qquad \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}$$

1. $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right),\quad \tg\alpha=\frac{2}{3}$$

   $$\tg\left(\frac{\pi}{4}-\alpha\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}-\tg\alpha}{1+\tg\frac{\pi}{4}\cdot\tg\alpha}=\frac{1-\frac{2}{3}}{1+1\cdot\frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{5}{3}}=\frac{1}{5}$$

2. $$\tg\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right),\quad \tg\alpha=\frac{4}{5}$$

   $$\tg\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tg\alpha+\tg\frac{\pi}{3}}{1-\tg\alpha\cdot\tg\frac{\pi}{3}}=\frac{\frac{4}{5}+\sqrt{3}}{1-\frac{4}{5}\sqrt{3}}$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$5+4\sqrt{3}$$:

   $$\tg\left(\alpha+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\left(\frac{4}{5}+\sqrt{3}\right)(5+4\sqrt{3})}{\left(1-\frac{4}{5}\sqrt{3}\right)(5+4\sqrt{3})}=\frac{80+41\sqrt{3}}{23}$$

3. $$\tg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right),\quad \ctg\alpha=\frac{4}{3}$$

   $$\tg\left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)=-\ctg\alpha=-\frac{4}{3}$$

4. $$\tg\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right),\quad \ctg\alpha=1{,}6$$

   Найдём тангенс угла:

   $$\tg\alpha=\frac{1}{\ctg\alpha}=\frac{1}{1{,}6}=\frac{5}{8}$$

   Тогда

   $$\tg\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg\alpha-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg\alpha\cdot\tg\frac{\pi}{4}}=\frac{\frac{5}{8}-1}{1+\frac{5}{8}\cdot 1}=\frac{-\frac{3}{8}}{\frac{13}{8}}=-\frac{3}{13}$$

Ответ: $$\frac{1}{5};\ \frac{80+41\sqrt{3}}{23};\ -\frac{4}{3};\ -\frac{3}{13}$$