Упр.20.16 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Точка $$K$$ — середина стороны $$CD$$ квадрата $$ABCD$$. Чему равен угол между диагональю $$AC$$ и отрезком $$BK$$?

Обозначим через $$E$$ точку пересечения диагонали $$AC$$ и отрезка $$BK$$. Требуется найти угол между прямыми $$AC$$ и $$BK$$, то есть угол $$\\angle AEB$$.

Рассмотрим квадрат $$ABCD$$. Тогда его диагональ $$AC$$ делит угол $$C$$ пополам, значит

$$\\angle ACD=45^\\circ.$$

Так как $$K$$ — середина стороны $$CD$$, то

$$CK=\\frac12 CD.$$

В прямоугольном треугольнике $$BKC$$ имеем $$BC=CD$$, поэтому

$$\\tg \\angle BKC=\\frac{BC}{CK}=\\frac{CD}{\\frac12 CD}=2,$$

следовательно,

$$\\angle BKC=\\arctg 2.$$

Теперь в треугольнике $$CEK$$:

$$\\angle CEK=180^\\circ-\\angle ACD-\\angle BKC=180^\\circ-45^\\circ-\\arctg 2.$$

Искомый угол

$$\\angle AEB=180^\\circ-\\angle CEK=45^\\circ+\\arctg 2.$$

Найдём его тангенс:

$$\\tg \\angle AEB=\\tg\\left(45^\\circ+\\arctg 2\\right)=\\frac{1+2}{1-1\\cdot 2}=3.$$

Значит,

$$\\angle AEB=\\arctg 3.$$

Ответ: $$\\arctg 3$$.