Упр.20.14 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Известно, что $$\cos a=\frac{3}{5}$$, $$0

Подробный ответ

Так как $$\cos a=\frac35$$ и $$0<a<\frac{\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в первой четверти, значит

$$\sin a=\sqrt{1-\cos^2 a}=\sqrt{1-\left(\frac35\right)^2}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac45.$$

Тогда

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a}=\frac{\frac45}{\frac35}=\frac43.$$

Ход решения

Используем формулы:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta},\qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

Так как $$\tg\frac{\pi}{3}=\sqrt3,$$ получаем:

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tg a+\tg\frac{\pi}{3}}{1-\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{3}} =\frac{\frac43+\sqrt3}{1-\frac43\sqrt3} =\frac{4+3\sqrt3}{3-4\sqrt3}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{3}\right) =\frac{(4+3\sqrt3)(3+4\sqrt3)}{(3-4\sqrt3)(3+4\sqrt3)} =\frac{12+16\sqrt3+9\sqrt3+36}{9-48} =-\frac{48+25\sqrt3}{39}.$$

Аналогично:

$$\tg\left(a-\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\tg a-\tg\frac{\pi}{3}}{1+\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{3}} =\frac{\frac43-\sqrt3}{1+\frac43\sqrt3} =\frac{4-3\sqrt3}{3+4\sqrt3}.$$

Рационализуем знаменатель:

$$\tg\left(a-\frac{\pi}{3}\right) =\frac{(4-3\sqrt3)(3-4\sqrt3)}{(3+4\sqrt3)(3-4\sqrt3)} =\frac{12-16\sqrt3-9\sqrt3+36}{9-48} =\frac{48-25\sqrt3}{39}.$$