Упр.20.13 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Известно, что $$\sin a=-\frac{12}{13}$$, $$\pi

Так как $$\sin a=-\frac{12}{13}$$ и $$\pi<a<\frac{3\pi}{2},$$ то угол $$a$$ лежит в третьей четверти, значит $$\cos a<0.$$

Найдём косинус:

$$\cos a=-\sqrt{1-\sin^2 a} =-\sqrt{1-\left(-\frac{12}{13}\right)^2} =-\sqrt{1-\frac{144}{169}} =-\sqrt{\frac{25}{169}} =-\frac{5}{13}.$$

Тогда

$$\tg a=\frac{\sin a}{\cos a} =\frac{-\frac{12}{13}}{-\frac{5}{13}} =\frac{12}{5}.$$

Используем формулы:

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a+\tg\frac{\pi}{4}}{1-\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{4}}, \qquad \tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{\tg a-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg a\cdot\tg\frac{\pi}{4}}.$$

Так как $$\tg\frac{\pi}{4}=1,$$ получаем:

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\frac{12}{5}+1}{1-\frac{12}{5}} =\frac{\frac{17}{5}}{-\frac{7}{5}} =-\frac{17}{7} =-2\frac{3}{7},$$

$$\tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right) =\frac{\frac{12}{5}-1}{1+\frac{12}{5}} =\frac{\frac{7}{5}}{\frac{17}{5}} =\frac{7}{17}.$$

Ответ

$$\tg\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=-\frac{17}{7},\qquad \tg\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=\frac{7}{17}.$$