Упр.20.12 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Зная, что $$\tg a = 3$$ и $$\tg(a+b) = 1$$, найдите $$\tg b$$. б) Зная, что $$\tg a = \frac{1}{4}$$ и $$\tg(a-b) = 2$$, найдите $$\tg b$$.

Используем формулы тангенса суммы и разности:

$$\tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}, \qquad \tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

а)

$$\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}=1,$$

$$\frac{3+\tg\beta}{1-3\tg\beta}=1.$$

Тогда

$$3+\tg\beta=1-3\tg\beta,$$

$$4\tg\beta=-2,$$

$$\tg\beta=-\frac12.$$

б)

$$\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta}=2,$$

$$\frac{\frac14-\tg\beta}{1+\frac14\tg\beta}=2.$$

Умножим на $$4$$:

$$\frac{1-4\tg\beta}{4+\tg\beta}=2.$$

Тогда

$$1-4\tg\beta=2(4+\tg\beta),$$

$$1-4\tg\beta=8+2\tg\beta,$$

$$-6\tg\beta=7,$$

$$\tg\beta=-\frac76.$$

Ответ

а) $$-\frac12$$; б) $$-\frac76$$.