Упр.20.11 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Найдите $$\operatorname{tg} a$$, если $$\operatorname{tg}\left(a-\frac{\pi}{4}\right)=3$$.
   б) Найдите $$\operatorname{ctg} a$$, если $$\operatorname{tg}\left(a+\frac{\pi}{4}\right)=0{,}2$$.

Используем формулы тангенса суммы и разности:

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta},\qquad \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}$$

а)

$$\tg\left(\alpha-\frac{\pi}{4}\right)=3$$

$$\frac{\tg\alpha-\tg\frac{\pi}{4}}{1+\tg\alpha\cdot\tg\frac{\pi}{4}}=3$$

Так как $$\tg\frac{\pi}{4}=1,$$ получаем:

$$\frac{\tg\alpha-1}{1+\tg\alpha}=3$$

$$\tg\alpha-1=3(1+\tg\alpha)$$

$$\tg\alpha-1=3+3\tg\alpha$$

$$-2\tg\alpha=4$$

$$\tg\alpha=-2$$

б)

$$\tg\left(\alpha+\frac{\pi}{4}\right)=0{,}2$$

$$\frac{\tg\alpha+\tg\frac{\pi}{4}}{1-\tg\alpha\cdot\tg\frac{\pi}{4}}=0{,}2$$

Так как $$\tg\frac{\pi}{4}=1,$$ имеем:

$$\frac{\tg\alpha+1}{1-\tg\alpha}=0{,}2$$

$$\tg\alpha+1=0{,}2(1-\tg\alpha)$$

$$\tg\alpha+1=0{,}2-0{,}2\tg\alpha$$

$$1{,}2\tg\alpha=-0{,}8$$

$$\tg\alpha=-\frac{0{,}8}{1{,}2}=-\frac{2}{3}$$

Тогда
$$\ctg\alpha=\frac{1}{\tg\alpha}=\frac{1}{-\frac{2}{3}}=-\frac{3}{2}.$$

Ответ

а) $$-2$$; б) $$-\frac{3}{2}$$.