Упр.20.10 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите корни уравнения, принадлежащие отрезку $$[-\pi; 2\pi]$$:
   а) $$\frac{\sqrt{3}-\operatorname{tg}x}{1+\sqrt{3}\operatorname{tg}x}=1$$;
   б) $$\frac{\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}-\operatorname{tg}2x}{\operatorname{tg}\frac{\pi}{5}\cdot\operatorname{tg}2x+1}=\sqrt{3}$$.

а) Используем формулу тангенса разности:

$$\frac{\sqrt{3}-\tg x}{1+\sqrt{3}\tg x}=1 \;\Longrightarrow\; \tg\left(\frac{\pi}{3}-x\right)=1.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{3}-x=\frac{\pi}{4}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$x=\frac{\pi}{12}+\pi k.$$

Найдём значения на отрезке $$[-\pi;2\pi]$$:

$$k=-1 \Rightarrow x=-\frac{11\pi}{12},\qquad k=0 \Rightarrow x=\frac{\pi}{12},\qquad k=1 \Rightarrow x=\frac{13\pi}{12}.$$

б) Аналогично, по формуле тангенса разности:

$$\frac{\tg\frac{\pi}{5}-\tg 2x}{1+\tg\frac{\pi}{5}\cdot\tg 2x}=\sqrt{3}\;\Longrightarrow\; \tg\left(\frac{\pi}{5}-2x\right)=\sqrt{3}.$$

Тогда

$$\frac{\pi}{5}-2x=\frac{\pi}{3}+\pi k,\quad k\in\mathbb Z,$$

откуда

$$2x=-\frac{2\pi}{15}+\pi k,\qquad x=-\frac{\pi}{15}+\frac{\pi k}{2}.$$

Найдём корни на отрезке $$[-\pi;2\pi]$$:

$$k=-1 \Rightarrow x=-\frac{17\pi}{30},\quad k=0 \Rightarrow x=-\frac{\pi}{15},\quad k=1 \Rightarrow x=\frac{13\pi}{30},$$

$$k=2 \Rightarrow x=\frac{14\pi}{15},\quad k=3 \Rightarrow x=\frac{43\pi}{30},\quad k=4 \Rightarrow x=\frac{29\pi}{15}.$$

Ответ

а) $$-\frac{11\pi}{12},\ \frac{\pi}{12},\ \frac{13\pi}{12}$$

б) $$-\frac{17\pi}{30},\ -\frac{\pi}{15},\ \frac{13\pi}{30},\ \frac{14\pi}{15},\ \frac{43\pi}{30},\ \frac{29\pi}{15}$$