Упр.20.1 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. Вычислите: а) $$\operatorname{tg}\frac{\pi}{12}$$; б) $$\operatorname{tg}105$$; в) $$\operatorname{tg}\frac{5\pi}{12}$$; г) $$\operatorname{tg}165$$.

Используем формулы:

$$\tg(\alpha-\beta)=\frac{\tg\alpha-\tg\beta}{1+\tg\alpha\cdot\tg\beta},\qquad \tg(\alpha+\beta)=\frac{\tg\alpha+\tg\beta}{1-\tg\alpha\cdot\tg\beta}.$$

1. $$\tg\frac{\pi}{12}=\tg\left(\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}-\tg\frac{\pi}{6}}{1+\tg\frac{\pi}{4}\cdot\tg\frac{\pi}{6}}=\frac{1-\frac{\sqrt3}{3}}{1+\frac{\sqrt3}{3}}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$3-\sqrt3$$:

   $$\tg\frac{\pi}{12}=\frac{(3-\sqrt3)^2}{(3+\sqrt3)(3-\sqrt3)}=\frac{9-6\sqrt3+3}{9-3}=\frac{12-6\sqrt3}{6}=2-\sqrt3.$$

2. $$\tg105^\circ=\tg(45^\circ+60^\circ)=\frac{\tg45^\circ+\tg60^\circ}{1-\tg45^\circ\cdot\tg60^\circ}=\frac{1+\sqrt3}{1-\sqrt3}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$1+\sqrt3$$:

   $$\tg105^\circ=\frac{(1+\sqrt3)^2}{1-3}=\frac{1+2\sqrt3+3}{-2}=-2-\sqrt3.$$

3. $$\tg\frac{5\pi}{12}=\tg\left(\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{6}\right)=\frac{\tg\frac{\pi}{4}+\tg\frac{\pi}{6}}{1-\tg\frac{\pi}{4}\cdot\tg\frac{\pi}{6}}=\frac{1+\frac{\sqrt3}{3}}{1-\frac{\sqrt3}{3}}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$3+\sqrt3$$:

   $$\tg\frac{5\pi}{12}=\frac{(3+\sqrt3)^2}{(3-\sqrt3)(3+\sqrt3)}=\frac{9+6\sqrt3+3}{9-3}=\frac{12+6\sqrt3}{6}=2+\sqrt3.$$

4. $$\tg165^\circ=\tg(45^\circ+120^\circ)=\frac{\tg45^\circ+\tg120^\circ}{1-\tg45^\circ\cdot\tg120^\circ}=\frac{1-\sqrt3}{1+\sqrt3}.$$

   Умножим числитель и знаменатель на $$1-\sqrt3$$:

   $$\tg165^\circ=\frac{(1-\sqrt3)^2}{1-3}=\frac{1-2\sqrt3+3}{-2}=\sqrt3-2.$$

Ответ: а) $$2-\sqrt3$$; б) $$-2-\sqrt3$$; в) $$2+\sqrt3$$; г) $$\sqrt3-2$$.