Упр.2.8 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Найдите наименьшее и наибольшее значения функции: а) $$y=3-2x$$, $$x\in[-1;3]$$; б) $$y=-2x^2+2x$$, $$x\in[-3;2]$$; в) $$y=3-4x$$, $$x\in(-\infty;3]$$; г) $$y=x^2+4x+5$$, $$x\in(0;1]$$.

а) $$y=3-2x,\quad x\in[-1;3]$$

Функция линейная, коэффициент при $$x$$ отрицательный, значит, она убывает на всей области определения. Поэтому наибольшее значение достигается при $$x=-1$$, а наименьшее — при $$x=3$$:

$$y_{\max}=y(-1)=3-2\cdot(-1)=5,$$

$$y_{\min}=y(3)=3-2\cdot 3=-3.$$

Ответ: $$y_{\max}=5,\; y_{\min}=-3.$$

б) $$y=-2x^2+2x,\quad x\in[-3;2]$$

Это парабола, ветви направлены вниз. Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-2)}=\frac12.$$

Точка $$x_0=\frac12$$ принадлежит отрезку $$[-3;2]$$, значит, в вершине достигается наибольшее значение. Проверим также концы отрезка:

$$y(-3)=-2\cdot(-3)^2+2\cdot(-3)=-18-6=-24,$$

$$y\left(\frac12\right)=-2\cdot\left(\frac12\right)^2+2\cdot\frac12=-2\cdot\frac14+1=\frac12,$$

$$y(2)=-2\cdot 2^2+2\cdot 2=-8+4=-4.$$

Следовательно,

Ответ: $$y_{\max}=\frac12,\; y_{\min}=-24.$$

в) $$y=3-4x,\quad x\in(-\infty;3]$$

Функция линейная, коэффициент при $$x$$ отрицательный, значит, она убывает. Наибольшего значения на промежутке нет, так как при $$x\to -\infty$$ значение функции неограниченно возрастает. Наименьшее значение достигается при $$x=3$$:

$$y_{\min}=y(3)=3-4\cdot 3=-9.$$

Ответ: наименьшее значение $$-9$$, наибольшего значения нет.

г) $$y=x^2+4x+5,\quad x\in(0;1]$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Найдём абсциссу вершины:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2}=-2.$$

Точка минимума лежит левее промежутка $$(0;1]$$, поэтому на данном промежутке функция возрастает. Тогда наибольшее значение достигается при $$x=1$$, а наименьшее — при $$x\to 0+$$:

$$y_{\max}=y(1)=1^2+4\cdot 1+5=10,$$

$$y_{\min}\to y(0)=5.$$

Так как $$0$$ не входит в промежуток, значение $$5$$ не достигается.

Ответ: наименьшего значения нет, наибольшее значение $$10$$.