Упр.2.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

а) $$y=\sqrt{-x^2+4x-5}$$; б) $$y=\sqrt{\frac{x^2-4x+1}{5}}$$; в) $$y=\sqrt{-2x^2+8x+9}$$; Г) $$y=\sqrt{\frac{5}{2x^2-4x+2}}$$.

а) Для функции $$y=\sqrt{-x^2+4x-5}$$ необходимо, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

$$-x^2+4x-5\ge 0$$

$$x^2-4x+5\le 0$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$x^2-4x+5$$. Его дискриминант:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 5=16-20=-4<0$$

Так как старший коэффициент положителен, то $$x^2-4x+5>0$$ при всех $$x$$. Значит, неравенство $$x^2-4x+5\le 0$$ решений не имеет.

Следовательно, функция не определена ни при каких значениях $$x$$.

б) Для функции $$y=\sqrt{\dfrac{x^2-4x+1}{5}}$$ нужно:

$$\dfrac{x^2-4x+1}{5}\ge 0$$

Так как $$5>0$$, получаем:

$$x^2-4x+1\ge 0$$

Найдём корни уравнения $$x^2-4x+1=0$$:

$$D=(-4)^2-4\cdot 1\cdot 1=12$$

$$x_{1,2}=\dfrac{4\pm \sqrt{12}}{2}=2\pm \sqrt{3}$$

Так как ветви параболы направлены вверх, то

$$x\le 2-\sqrt{3}\quad \text{или}\quad x\ge 2+\sqrt{3}$$

Значения функции неотрицательны, а сверху не ограничены.

в) Для функции $$y=\sqrt{-2x^2+8x+9}$$ требуется:

$$-2x^2+8x+9\ge 0$$

$$2x^2-8x-9\le 0$$

Найдём корни уравнения $$2x^2-8x-9=0$$:

$$D=(-8)^2-4\cdot 2\cdot (-9)=64+72=136$$

$$x_{1,2}=\dfrac{8\pm \sqrt{136}}{4}=2\pm \dfrac{\sqrt{34}}{2}$$

Так как ветви параболы направлены вниз, то функция определена при

$$2-\dfrac{\sqrt{34}}{2}\le x\le 2+\dfrac{\sqrt{34}}{2}$$

Наибольшее значение достигается в вершине параболы при $$x=2$$:

$$y_{\max}=\sqrt{-2\cdot 2^2+8\cdot 2+9}=\sqrt{17}$$

Следовательно, функция ограничена снизу и сверху.

г) Преобразуем выражение:

$$y=\sqrt{\dfrac{5}{2x^2-4x+2}}=\sqrt{\dfrac{5}{2(x-1)^2}}=\sqrt{\dfrac{5}{2}}\cdot \dfrac{1}{|x-1|}$$

Область определения задаётся условием:

$$2(x-1)^2>0$$

то есть

$$x\ne 1$$

Так как $$|x-1|>0$$, то

$$\dfrac{1}{|x-1|}>0$$

Следовательно, $$y>0$$, а снизу функция ограничена числом $$0$$, сверху не ограничена.

Ответ

а) функция не существует; б) ограничена снизу; в) ограничена снизу и сверху; г) ограничена снизу.