Упр.2.6 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуйте функцию на ограниченность: а) $$y=x^2-8x+1$$; б) $$y=\frac{2x-4}{x},\ x>0$$; в) $$y=-2x^2-6x+15$$; г) $$y=\frac{5-2x}{1-x},\ x<1$$.

Исследуем каждую функцию на ограниченность.

1. $$y=x^2-8x+1$$

   Выделим полный квадрат:

   $$x^2-8x+1=(x^2-8x+16)-15=(x-4)^2-15$$

   Так как $$\,(x-4)^2\ge 0,$$ то

   $$y\ge -15.$$

   Следовательно, функция ограничена снизу.

2. $$y=\frac{2x-4}{x},\quad x>0$$

   Преобразуем выражение:

   $$y=2-\frac{4}{x}$$

   При $$x>0$$ имеем $$\frac{4}{x}>0,$$ значит

   $$y<2.$$

   Следовательно, функция ограничена сверху.

3. $$y=-2x^2-6x+15$$

   Выделим полный квадрат:

   $$-2x^2-6x+15=-2(x^2+3x)+15=-2\left(x^2+3x+\frac{9}{4}\right)+15+\frac{9}{2}$$

   $$=-2\left(x+\frac{3}{2}\right)^2+\frac{39}{2}$$

   Так как $$\left(x+\frac{3}{2}\right)^2\ge 0,$$ то

   $$y\le \frac{39}{2}.$$

   Следовательно, функция ограничена сверху.

4. $$y=\frac{5-2x}{1-x},\quad x<1$$

   Преобразуем дробь:

   $$\frac{5-2x}{1-x}=\frac{3+2(1-x)}{1-x}=\frac{3}{1-x}+2$$

   Так как $$x<1,$$ то $$1-x>0,$$ значит

   $$\frac{3}{1-x}>0.$$

   Следовательно,

   $$y>2.$$

   Функция ограничена снизу.

Ответ: а) ограничена снизу; б) ограничена сверху; в) ограничена сверху; г) ограничена снизу.