Упр.2.5 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

Исследуем каждую функцию на монотонность, используя свойства числовых неравенств.

1. $$y=\sqrt{x^3+1}$$

   Пусть $$x_2>x_1$$. Тогда

   $$x_2^3>x_1^3,$$

   $$x_2^3+1>x_1^3+1,$$

   $$\sqrt{x_2^3+1}>\sqrt{x_1^3+1}.$$

   Значит, $$y(x_2)>y(x_1)$$, то есть функция возрастает.

2. $$y=5-x^5-\sqrt{2x^3}$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$ Пусть $$x_2>x_1\ge 0$$. Тогда

   $$x_2^5>x_1^5,$$

   $$2x_2^3>2x_1^3,$$

   $$\sqrt{2x_2^3}>\sqrt{2x_1^3}.$$

   Следовательно,

   $$5-x_2^5-\sqrt{2x_2^3}<5-x_1^5-\sqrt{2x_1^3}.$$

   Значит, функция убывает.

3. $$y=2-\sqrt{x}$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$ Пусть $$x_2>x_1\ge 0$$. Тогда

   $$\sqrt{x_2}>\sqrt{x_1},$$

   откуда

   $$2-\sqrt{x_2}<2-\sqrt{x_1}.$$

   Следовательно, функция убывает.

4. $$y=\sqrt{x^7}+x-1$$

   Область определения: $$x\ge 0.$$ Пусть $$x_2>x_1\ge 0$$. Тогда

   $$x_2^7>x_1^7,$$

   $$\sqrt{x_2^7}>\sqrt{x_1^7},$$

   и, кроме того, $$x_2-1>x_1-1.$$

   Складывая неравенства, получаем

   $$\sqrt{x_2^7}+x_2-1>\sqrt{x_1^7}+x_1-1.$$

   Значит, функция возрастает.

Ответ: а) возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает.