Упр.2.3 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)
- а) $$y=x^2+2x+1,\quad x\geq -1$$;
- б) $$y=\frac{1}{x+2},\quad x<-2$$;
- в) $$y=-x^2+6x-12,\quad x\geq 3$$;
- г) $$y=-\frac{2}{x+5},\quad x>-5$$.
Исследуем каждую функцию на указанном промежутке, сравнивая значения при $$x_1<x_2$$.
а)
$$y=x^2+2x+1=(x+1)^2,\qquad x\ge -1.$$
Пусть $$-1\le x_1<x_2.$$ Тогда
$$0\le x_1+1<x_2+1,$$
следовательно,
$$(x_1+1)^2<(x_2+1)^2,$$
то есть $$y(x_1)<y(x_2).$$ Значит, функция возрастает.
б)
$$y=\frac{1}{x+2},\qquad x<-2.$$
Пусть $$x_1<x_2<-2.$$ Тогда
$$x_1+2<x_2+2<0.$$
При отрицательных знаменателях получаем
$$\frac{1}{x_1+2}>\frac{1}{x_2+2},$$
то есть $$y(x_1)>y(x_2).$$ Значит, функция убывает.
в)
$$y=-x^2+6x-12=-(x-3)^2-3,\qquad x\ge 3.$$
Пусть $$3\le x_1<x_2.$$ Тогда
$$0\le x_1-3<x_2-3,$$
следовательно,
$$(x_1-3)^2<(x_2-3)^2,$$
а значит,
$$-(x_1-3)^2-3>-(x_2-3)^2-3.$$
То есть $$y(x_1)>y(x_2).$$ Значит, функция убывает.
г)
$$y=-\frac{2}{x+5},\qquad x>-5.$$
Пусть $$-5<x_1<x_2.$$ Тогда
$$0<x_1+5<x_2+5,$$
следовательно,
$$\frac{1}{x_1+5}>\frac{1}{x_2+5}.$$
Умножая на $$-2$$, получаем
$$-\frac{2}{x_1+5}<-\frac{2}{x_2+5},$$
то есть $$y(x_1)<y(x_2).$$ Значит, функция возрастает.
Ответ
а) возрастает; б) убывает; в) убывает; г) возрастает.
