Упр.19.7 ГДЗ Мордкович 10-11 класс (Алгебра)

1. а) $$\sin(30-a)-\cos(60-a)=-\sqrt{3}\sin a$$; б) $$\sin(30-a)+\sin(30+a)=\cos a$$.

а) Используем формулы синуса и косинуса разности:

$$\sin(30^\circ-\alpha)-\cos(60^\circ-\alpha)= (\sin 30^\circ \cos \alpha-\cos 30^\circ \sin \alpha)-(\cos 60^\circ \cos \alpha+\sin 60^\circ \sin \alpha)$$

$$=\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha-\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha =-\sqrt3\sin\alpha$$

Тождество доказано.

б) Аналогично, применим формулу синуса разности и суммы:

$$\sin(30^\circ-\alpha)+\sin(30^\circ+\alpha)= (\sin 30^\circ \cos \alpha-\cos 30^\circ \sin \alpha)+(\sin 30^\circ \cos \alpha+\cos 30^\circ \sin \alpha)$$

$$=\frac12\cos\alpha-\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha+\frac12\cos\alpha+\frac{\sqrt3}{2}\sin\alpha =\cos\alpha$$

Тождество доказано.